ლინგვისტუსის ბლოგი

სიტყვები, ენები, ისტორიები, წიგნები, შეკითხვები და სხვ.

Posts Tagged ‘ბაბილონი

ძველი ბაბილონური ხეოფსის პირამიდა

with 13 comments

1944 წელს იელის უნივერსიტეტმა კერძო კოლექციონერისგან პატარა ქვა შეიძინა, რომელზედაც კვადრატი, დიაგონალები და რიცხვები იყო ამოკაწრული ლურსმნული დამწერლობით. ქვა ჩვ. წ.აღ.-მდე მე-18 საუკუნით თარიღდება და ევფრატისა და ტიგროსის დელტაშია ნაპოვნი, ანუ იქ სადაც ოდესღაც ძვ. ბაბილონელები სახლობდნენ. თანამედროვე მეცნიერებას ძალიან გაუმართლა, რომ ეს ქვა აღმოჩენილი იქნა, ვინაიდან ჩვენ არაფერი გვეცოდინებოდა ძვ. ბაბილონელთა გონიერების გაქანების შესახებ.

დაუკვირვებელი თვალი უმალ ამჩნევს კვადრატს და დიაგონალებს და იბადება შეკითხვა: ნუთუ პითაგორას თეორემაა გამოსახული?! პასუხი ამ შეკითხვაზე დამაკმაყოფილებელია: დიახ, პითაგორამდე თორმეტი საუკუნით ადრე ბაბილონელებმა იცოდნენ, რომ კვადრატის მომიჯნავე ორი გვერდის კვადრატების ჯამი დიაგონალის კვადრატის ტოლია, თუმცა ამით არ ამოიწურება ამ ქვის უნიკალურობა. ქვის უნიკალურობა ნაკაწრშია, რომლის გასაგებადაც სამოცობით სისტემაზე მომიწევს ორიოდე სიტყვის თქმა.

ძველი ბაბილონელები სამოცობითი სისტემის შემქმნელები არიან, რაც დღემდე შემოგვრჩა. დროს და კუთხეებს ჩვენ მათ მსგავსად 60 ნაწილად ვყოფთ. ასე მაგალითად: 1 საათში 60 წუთია, 1 წუთში 60 წამი და ა.შ. ჩვენი შუამდინარეთელი წინაპრები ამ სამოცობითი სისტემით აზროვნებდნენ და შესაბამისად მათი საშუალებით არამხოლოდ დროს და კუთხეებს ითვლიდნენ და ზომავდნენ, მათთვის საათი და 24 წუთი ჩვეულებრივი რიცხვი იყო და აღნიშნავდა ისევე როგორც დროის ინტერვალს, ამავდროულად 1 მთელ 24/60-ს.

ლურსმნული ნაკაწრების გაშიფრვა, როგორც აღმოჩნდა ძნელი არ არის:

კვადრატის გვერდზე 30-ია ამოკაწრული. ზედ დიაგონალზე 1, 24, 51, 10 და ცოტა ქვემოთ 42, 25, 35. ისმის შეკითხვა: კი მაგრამ რას უნდა ნიშნავდეს ეს ყველაფერი?! – ამაზე პასუხის გასაცემად სამოცობითი სისტემა დაგვეხმარება. ძველი ბაბილონელისათვის 30 აღნინავდა 1/2-ს (30/60), ანუ ჩვენს წინაშეა კვადრატი რომლის გვერდია 1/2. დიაგონალზე ჩანაწერი სამოცობითში რომ გადავიყვანოთ მივიღებთ:

1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 = 1.4142129…

ეს კი, რა თქმა უნდა, არის ფესვი 2-დან და რაც არ უნდა გასაოცარი იყოს ძვ. ბაბილონელებმა მემილიონედის სიზუსტით იცოდნენ ფესვი 2-ის მნიშვნელობა. ქვედა ნაკაწრი რომ გადავიყვანოთ სამოცობითში მივიღებთ:

42/60 + 25/3600 + 35/216000 = 0.7071064…

ეს კი არის ფესვი ერთი მეორედიდან, რაც ასევე მემილიონედის სიზუსტით ემთხვევა!

ხეოფსის პირამიდა არამხოლოდ იმიტომ იწვევს აღფრთოვანებას, რომ დიდია და გრანდიოზული, არამედ იმითაც, რომ მისი ზომები სიზუსტის სტანდარტი იყო მრავალი საუკუნის განმავლობაში. ასევე ეს ქვაც იმითაა საყურადღებო, რომ მემილიონედის სიზუსტით 38 საუკუნის წინ როგორ მოახერხეს ფესვი 2-ის გამოთვლა დღემდე უცნობი და გაუგებარია სამეცნიერო საზოგადოებისათვის.

თქვენი არ ვიცი და მე კი მგონია, რომ ერთი ასეთი ქვის არსებობა ამართლებს მთელი კაცობრიობის არსებობას.

Advertisements

Written by linguistuss

May 30, 2011 at 9:02 pm

დიოფანტე ალექსანდრიელის ალგებრა

with one comment

დიოფანტე ალექსანდრიელი ფართო მასისთვის ცნობილი პიერ ფერმას წყალობით გახდა. ამის შესახებ ამ პოსტში მქონდა საუბარი. კვლავ გავიხსენებ ამ ისტორიას:

ფრანგი იურისტი, პიერ ფერმა, რომლისთვისაც მათემატიკა მხოლოდ ჰობი იყო, ძვ. ბერძენი მათემატიკოსის, დიოფანტეს ნაშრომის, “არითმეტიკის” კითხვის დროს წააწყდა ფრაზას, სადაც ეწერა, რომ არ მოიძებნება ისეთი ორი მთელი დადებითი რიცხვი რომელთა კუბების ჯამი რომელიმე სხვა რიცხვის კუბის ტოლი იქნებაო. რაზედაც ფერმამ წიგნის არეზე მიაწერა, ეს ჭეშმარიტია არამხოლოდ კუბების, არამედ მეოთხე ხარისხების და საერთოდ ორზე მეტი ნებისმიერი ხარისხის შემთხვევაშიო, ამის დამტკიცება შემიძლია, თუმცა წიგნის მარგინალიაზე ადგილი არ მყოფნის და შესაბამისად ვერ დავამტკიცებო

დიოფანტეს “ალგებრის მამას” უწოდებენ. იგი იყო პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც სისტემატიურად დაიწყო უცნობი სიდიდეების სიმბოლოებით გამოსახვა, თუმცა დღემდე გაუგებარი იყო ჩემთვის როგორ ახერხებდა დიოფანტე ამას იმის გათვალისწინებით, რომ არაბული ციფრები მე-11 საუკუნეში გამოჩნდა, ჩვენთვის ცნობილი x, y, z უცნობები კი მე-17 საუკუნეში შემოიღო რენე დეკარტმა. ტოლობის ნიშანიც არ იცოდა ალექსანდრიელმა, რომ არაფერი ვთქვათ იმ კანონიკურ ალგებრულ ჩანაწერზე, რომელიც ყველა ჩვენგანმა სკოლაში ისწავლა.

ჯონ დერბიშირის წიგნში, “Unknown Quantity” წავაწყდი გამოსახულებას, ძვ. ბერძნული და ლათინური ასოების ნარევს, რომელიც პირადად ჩემთვის არაფრით განსხვავდებოდა “ენიგმას” დაშიფრული ტექსტისგან. როგორც აღმოჩნდა ეს არის ჩანაწერი, რის გამოც დიოფანტეს “ალგებრის მამას” უწოდებენ. როგორც მოგახსენეთ დიოფანტემ არ იცოდა არაბული ციფრები, შესაბამისად იგი რიცხვების ჩასაწერად თავზე ხაზგასმულ ძვ. ბერძნულ ასოებს იყენებს (α, β, γ, δ, ε…), უცნობი სიდიდეების გამოსახატად კი – ბერძნულ ასოებს (K, M, ς, Δ ).

დიოფანტეს ჩანაწერი სამი ნაწილისგან შედგება: პირველ ნაწილში თავმოყრილია დადებითი წევრები, ამოყირავებული სამკაპი მიუთითებს რომ, რაც შემდეგ მოდის ის აკლდება დადებითებს და ’íσ  კი იგივეა, რაც ჩვენთვის კარგად ცნობილი ტოლობის ნიშანი (სიტყვიდან  ’íσος “ჰისოს”, რაც ნიშნავს “უდრის”). უცნობები ოთხი ტიპისა აქვს: კუბური ხარისხის მქონე (K), კვადრატული (Δ), პირველი ხარისხის  (ς) და კონსტანტა (M). შესაბამისად დიოფანტეს ჩანაწერი თანამედროვე ალგებრის ენაზე რომ გადმოვთარგმნოთ მივიღებთ:

როგორც ხედავთ დიოფანტე კოეფიციენტებს უცნობების შემდეგ წერს. დადებით და უარყოფით წევრებს ერთად აჯგუფებს. ასევე ისიც უნდა ითქვას, რომ იმ დროს უარყოფითი რიცხვებიც არ იყო ცნობილი. შესაბამისად ამოყირავებული სამკაპას სიმბოლო მინუს ნიშანს კი არ ნიშნავს, არამედ გამოკლებას. უფრო გასაგებ ენაზე რომ გადავწეროთ ეს განტოლება, მივიღებთ:

დარწმუნებული ვარ ეს უკანასკნელი ყველას გეცნოთ. მათაც კი, ვინც სკოლაში ალგებრას ვერ იტანდა. საინტერესო ამ ისტორიაში ის არის, რომ დიოფანტე საკუთარი გამოგონების ტყვეობაში აღმოჩნდა. მისი საშუალებით მხოლოდ ერთუცნობიანი განტოლებების ჩაწერაა შესაძლებელი, ამიტომაც დიოფანტეს “არითმეტიკაში” ვერც ერთ ამ განტოლების მსგავსს ვერ ნახავთ, როდესაც იგი ორუცნობიან ე.წ. “დიოფანტეს განტოლებებზე” საუბრობს და მხოლოდ სიტყვიერად აღწერს მათ.

ასეთივე სიმბოლიზმის ტყვეობაში აღმოჩნდნენ ძვ. ბაბილონელებიც, რომლებმაც თითქმის მიაგნეს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ზოგად წესს, მაგრამ არასწორად შერჩეული “ლურსმნული” სიმბოლიზმის გამო 27 საუკუნეზე მეტი გახდა საჭირო, რომ ძვ. ბაბილონელების მიგნება ზოგადი ფორმულის სახით ჩაწერილიყო.

P. S. როგორც ჩანს მართალი იყო ცხონებული ვილჰელმ ფონ ჰუმბოლდტი, როდესაც ამბობდა “ენა, როგორც სიმბოლიზმი ციხეა და ადამიანის გონება მის ტყვეობაში იმყოფებაო”.

გრადუსებზე და წამებზე

with 21 comments

შეიძლება ვინმემ არ იცის, ასეთები დარწმუნებული ვარ მრავლად არიან, თუ საიდან წარმოდგება სამოცად დაყოფის პრაქტიკა დროისა და კუთხეების ათვლისას. ჰოდა, სპეციალურად მათთვისაა ეს ტექსტი, რომელიც ძველი ჟურნალების ფურცლვისას შემომხვდა…

ძველ შუამდინარეთში, ტიგროსისა და ევფრატის აუზში ძველი შუმერები სახლობდნენ, რომელთაც საგრძნობი კვალი დატოვეს კაცობრიობის ისტორიაში. მავანნი იმასაც ამტკიცებენ, რომ შუმერები ქართველების წინაპრები არიანო, თუმცა ამ თემას მოდით გვერდი ავუაროთ და ძვ. შუმერთა მათემატიკურ მიღწევებზე შევაჩეროთ ყურადღება, რომელიც თავის მხრივ განვითარებული ვაჭრობით იყო განპირობებული.

შუმერებს არამხოლოდ ბორბალი, ირიგაცია და დამწერლობა გამოუგონიათ. მათ ასევე აღებ–მიმცემობის ერთეულის, ე.წ. ფულადი ერთეულის შექმნის პირველობასაც მიაწერენ. მათ ფულად ერთეულს მინა ერქვა და ის ვერცხლის ულუფას წარმოადგენდა, რომელსაც ჩვეულებრივ ორ ნაწილად ყოფდნენ, ვინაიდან 1 მინის მსყიდველობითუნარიანობა საკმაოდ მაღალი იყო. თითოეული ნახევარი თავის მხრივ კი სამ ნაწილად იყოფოდა და საბოლოო ჯამში ძვ. შუმერებს შორის მეექვსედი მინის შესაბამისი ვერცხლის ულუფები მიმოიქცეოდა.

შუამდინარეთში შუმერების მახლობლად კიდევ ერთი ხალხი სახლობდა, აქადეველები, რომელთა ფულად ერთეულსაც შეკელი ეწოდებოდა. როგორც ჩანს აქადეველთა “ვალუტა” არც თუ ისე მყარი იყო მინასთან მიმართებაში – მეექვსედი მინა 10 შეკელში იცვლებოდა, რაც ჯამში ჩვენთვის საინტერესო კურსს იძლეოდა: 1 მინა უდრიდა 60 შეკელს. ამასთან 60 ძალიან საინტერესო რიცხვია და გამყოფების დიდი რაოდენობით გამოირჩევა. ის უნაშთოდ იყოფა 2 , 3,  4, 5, 6–ზე და შესაბამისად ხურდის მიცემა ერთობ მოსახერხებელი იყო.

ძვ. ბაბილონელებმა რიცხვი 60 თვლის ერთეულად აირჩიეს და შესაბამისად სამოცობით არამხოლოდ აღებ–მიმცემობის დროს აზროვნებდნენ შუამდინარელები. მათ ერთი მინა წრეს შეუსაბამეს და მისი ნაწილები 60 ნაწილად გაყვეს. ასევე პატარა ნაწილები კიდევ სამოცად და ა.შ. შესაბამისად შემთხვევითი არ არის, რომ 1 გრადუსის მესამოცედ ნაწილს მინუტი ჰქვია, 1 მინუტის მესამოცედ ნაწილს კი სეკუნდი.

ძვ. ბერძნების, არაბებისა და დას. ევროპული მათემატიკური სკოლების წარმომადგენლებმა აჩვენეს, რომ სამოცობითი სისტემა ძალიან მოსახერხებელია, თუმცა ამავდროულად მოუხერხებელიც. მისი მოხერხებულობა ზემოხსენებული გამყოფების სიმრავლითაა განპირობებული, მოუხერხებლობა კი – პოზიციური ჩანაწერის სირთულით. სამოცობით სისტემაში 60 სიმბოლოა საჭირო რათა პოზიციური ჩანაწერი ვაწარმოოთ.

რადიკალურად მოაზროვნე პირები იმასაც კი ამბობდნენ, რომ ორი განსხვავებული სისტემა ზედმეტია და ერთ–ერთი მათგანი უნდა დარჩესო, თუმცა ჩემს მეზობელ ლამარასთან ახლა ვინმე რომ მივიდეს და უთხრას, რომ ამიერიდან საათში 60 წუთი აღარ არის და 10 ნაწილად იქნება დაყოფილი, ნამდვილად იფიქრებს, რომ ეხუმრებიან და განაგრძობს ღვეზელების ცხობას, ამიტომ სისადმინების პრაქტიკული რჩევა კვლავაც ძალაში რჩება: თუ მუშაობს, ხელი არ ახლო!