ლინგვისტუსის ბლოგი

სიტყვები, ენები, ისტორიები, წიგნები, შეკითხვები და სხვ.

Posts Tagged ‘მათემატიკა

გრძელი სიტყვები ჰაიკუში

leave a comment »

მათემატიკური ჰაიკუების ბლოგზე ვიპოვე ეს ჰაიკუ:

Maths haikus are hard
All the words are much too big
Like homeomorphic.

ჰოდა ეს ამბავი გამახსენდა:

Спортивное “Что? Где? Когда?”, вопрос:
“В нём вам может встретиться сакура или луна. А вот электрогенератор не может. Назовите это”.

Ответ: Хокку.

Письменная апелляция, полностью и дословно:

“Автор вопроса,
Электрогенератор
В зад себе засунь”

Апелляция принята.

Advertisements

Written by linguistuss

February 16, 2014 at 7:03 pm

ლექსი შეშლილ მათემატიკოსზე

with 3 comments

heart

ლექსს შეშლილი მათემათიკოსის შესახებ ორი წლის წინ გადავაწყდი ერთ ბლოგზე, სადაც მათემატიკოსთა ჭკუამხიარული და გონებამახვილური ლექსებია თავმოყრილი. ლექსის ავტორი მარშალის უნივერსიტეტის პროფესორი, მათემატიკოსი ჯონ დროსტია, რომლის მეუღლეც თურმე მათემატიკის მასწავლებელი ყოფილა. ეს ლექსი გამოქვეყნდა კრებულში Strange Attractors: Poems of Love and Mathematics და ისე მომეწონა, რომ ბოლო ორი წლის მანძილზე იმდენჯერ წავიკითხე, ზეპირად შემომესწავლა. თარგმნის სურვილი თავიდანვე გამიჩნდა, თუმცა კეპლერის უნივერსიტეტის დაძაბული სასწავლო კურიკულუმის გამო ეს გასულ წელს ვერ მოვახერხე. დღეს როგორც იქნა მოვიხელთე თავისუფალი დრო და როგორც ლეგოს სათამაშო კუბები ისე ჩალაგდა ერთმანეთში სიტყვები. ლექსის შინაარსიდან გამომდინარე თარგმანი შედარებით თავისუფალი გამოვიდა და ამიტომ ჩემს თარგმანში შეშლილ მათემატიკოსს ეშლი ჰქვია:

I Even Know of a Mathematician by John L. Drost

“I even know of a mathematician who slept with his wife only
on prime-numbered days…” Graham said.
―Paul Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers

A mathematician was obsessed with things prime.
He thought about them almost all of the time.
Said to his dear wife, “It truly seems right
That we should only make love on a prime-numbered night.”
His wife thought for a bit (’cause she was no dummy),
“At the month’s start this does seem quite yummy,
For there’s two, three, five, seven
A three-night hiatus and then there’s eleven.
But of the month’s end I start to be wary
Near the twenty-third day of the month February.
For the next prime day after will be March the first
Such sexual continence might cause me to burst!”
He shook his head sadly, “As it’s commonly reckoned,
The next prime day would be found on the second.”

ლექსი შეშლილ მათემატიკოსზე

მათემატიკოსს ვიცნობდი, ეშლის:
მარტივ რიცხვებზე ფიქრებით შეშლილს.
უთხრა ცოლს: “სექსი გვექნება მხოლოდ
მარტივრიცხვიან დღეებში“, – ხოლო
დაფიქრდა ცოლი, ქალი უთბესი:
„თვის დასაწყისი მოჩანს უტკბესი:
ორი და სამი, ხუთი და შვიდი,
და თერთმეტამდე ვიქნები მშვიდი,
თუმცა თებერვლის ოცდასამიდან
მე უსექსობას ვეღარ ავიტან.
თავშეკავება პირველ მარტამდე,
ჭკუიდან შემშლის, სულ მთლად გადამრევს!“
მიუგო ეშლიმ კრძალვით და კიცხვით:
“არ არის ერთი მარტივი რიცხვი!”

P. S. დღეს 16 მარტია და ჯონ დროსტის მეუღლის “სიხარულს” ვიზიარებ :)

Written by linguistuss

March 16, 2013 at 4:23 pm

ერთი ტიპოგრაფიული შეცდომის ისტორია

with 12 comments

1903 წლის ოქტომბერში აშშ-ს მათემატიკური საზოგადოების წინაშე კოლუმბიის უნივერსიტეტის პროფესორი ფრენკ ნელსონ კოული წარსდგა. მათემატიკის ისტორიის წიგნებში წერია, რომ მან ლექცია ჩაატარა, თუმცა მიუხედავად ამისა მთელმა ლექციამ სამარისებურ სიჩუმეში ჩაიარა, მხოლოდ დაფაზე ცარცის კაკუნი ისმოდა აქა-იქ… პროფესორმა ჯერ 2 აიყვანა 67-ე ხარისხში ქვეშმიწერით, შემდეგ 1 დააკლო და მიღებული ოცდაერთნიშნა რიცხვი 147573952589676412927 დაფის მარჯვენა კუთხეში საგანგებოდ ამოწერა. ამის შემდგომ კი 193707721-ის 761838257287-ზე ქვეშმიწერით გადამრავლებას შეუდგა. ორსაათიანი მდუმარე ანგარიშის შემდეგ ფრენკ ნელსონ კოულმა, მას შემდეგ რაც ამ რიცხვების ნამრავლი საგანგებოდ ამოწერილ რიცხვს დაემთხვა, ცარცი დადო და დამსწრე საზოგადოებამ აღფრთოვანებისგან ოვაციები ვერ შეიკავა. დიდი ხნის განმავლობაში უკრავდნენ ტაშს კოლუმბიის უნივერსიტეტის პროფესორს… ისმის შეკითხვა, კი მაგრამ რა გაუხარდათ ასეთი?!

ამ ისტორიის სათავე ძველ საბერძნეთში უნდა ვეძებოთ, უფრო სწორად კი მათს წარმოადგენებში. ისინი რიცხვებს ორ ნაწილად ჰყოფდნენ: მარტივ და შედგენილ რიცხვებად. როგორც მოგეხსენებათ, მარტივი ეწოდება რიცხვს, რომელიც მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე იყოფა. შედგენილ რიცხვებს კი ძვ. ბერძნები სამ ჯგუფში აერთიანებდნენ, რომელთაც შესაბამისად ნაკლული, სრულყოფილი და ჭარბი რიცხვები ეწოდებოდათ. მარტივი წესი არსებობს, თუ როგორ გავარკვიოთ შედგენილი რიცხვი, მაგალითად 30, რომელ კატეგორიას განეკუთვნება: უნდა ავიღოთ მისი ყველა გამყოფი (საკუთარი თავის გარდა) და შევკრიბოთ – 1+2+3+5+6+10+15 = 42 , თუ გამყოფების ჯამი რიცხვზე მეტი აღმოჩნდება ის ჭარბ რიცხვებში ჩაეწერება, თუ ნაკლები – ნაკლულებში და თუ გაუტოლდება მაშინ – სრულყოფილ რიცხვებში (შესაბამისად 30 ჭარბი რიცხვია). ძველმა ბერძნებმა მხოლოდ ოთხი სრულყოფილი რიცხვი იცოდნენ: 6, 28, 496, 8128 (მათ სრულყოფილებაში დარწმუნება ადვილია, შეგიძლიათ თავად სცადოთ: 1+2+3=6, 1+2+4+7+14=28 და ა.შ.).

არსებობს მოსაზრება, რომ სრულყოფილი რიცხვების იდეა ძველ ბერძნებამდე ძვ. შუმერებმა და შუამდინარელებმაც იცოდნენ. სწორად ამით ხსნიან ბიბლიაში ღმერთის მიერ სამყაროს 6 დღეში შექმნის ფაქტს, თუმცა უმჯობესია თეოლოგიას შევეშვათ და მათემატიკას დავუბრუნდეთ… მე-16 საუკუნეში იტალიელმა პიეტრო კატალდიმ მეხუთე და მეექვსე სრულყოფილი რიცხვები (33550336 და 8589869056) აღმოაჩინა და რენესანსის ეპოქაში ამ რიცხვებზე სანადირო სეზონი გახსნა. რაც უფრო შორს მივდივართ მით უფრო რთულია რიცხვების მარტივ მამრავლებად დაშლა და შემდეგ გამყოფების პოვნა. არსებობს მეორე, შედარებით ადვილი გზა სრულყოფილი რიცხვების საპოვნელად, რომელიც ევკლიდეს სახელს უკავშირდება. დიდმა გეომეტრმა აღმოაჩინა, რომ თუკი p-ს და P-ს ისე შევარჩევთ, რომ ორივე მარტივი რიცხვი იყოს და ისინი აკმაყოფილებდნენ ფორმულას:

მაშინ სრულყოფილი რიცხვების მოძებნა შესაძლებელი გახდება ფორმულით: P (P+1) / 2. როდესაც პატარა p უდრის 2-ს, 3-ს, 5-ს და 7-ს  დიდი P უდრის 3-ს, 7-ს, 31-ს და 127-ს. შესაბამისად სრულყოფილი რიცხვები იქნება: 3*4/2 = 6, 7*8/2=28, 31*32/2=496, 127*128/2 = 8128… ყველაფერი ერთი შეხედვით მარტივად გამოიყურება: პრობლემა მხოლოდ დიდი და პატარა p-ების მოძებნაა, რომელიც ამავდროულად მარტივი რიცხვები უნდა იყოს. როგორც აღმოჩნდა ყველა მარტივი რიცხვი არ აკმაყოფილებს ამ ტოლობას, შესაბამისად მაშინდელი მათემატიკოსები პატარა  და დიდი p-ების ძებნას შეუდგნენ.

სწორად აქ მივადექით ჩვენი ისტორიის მთავარ გმირს ფრანცისკანელ ბერს, მარენ მერსენს, რომელიც პიერ ფერმას და რენე დეკარტის თანამედროვე და მეგობარი გახლდათ. მისი მთავარი გატაცება არითმეტიკა ყოფილა. უფრო კონკრეტულად კი მას ყველაზე მეტად ზემოხსენებული p და P-ები უჩქროლებდა გულს. დღესდღეობით ასეთ რიცხვებს მერსენის რიცხვები ჰქვია. თავის დროზე მარენ მერსენის ავტორიტეტი იმდენად მაღალი ყოფილა, რომ მარტივი რიცხვების შესახებ მისი აზრი ჭეშმარიტების ტოლფასი იყო. 1644 წელს მან გამოსცა წიგნი Cogitata Physico-Mathematica, სადაც დამტკიცების გარეშე ამცნო კოლეგებს, რომ როდესაც პატარა p ევკლიდეს ტოლობაში უდრის 2-ს, 3-ს, 5-ს, 7-ს, 13-ს, 17-ს, 19-ს, 31-ს, 67-ს, 127-ს და 257-ს დიდი P-ც მარტივი რიცხვიაო.

ამ წიგნმა დიდი თავსატეხი გაუჩინა მათემატიკოსებს. საიდან გამოთვალა მერსენმა  დიდი P-ები უცნობი იყო. ვერავინ შეძლო ორის 67-ე, 127-ე და 257-ე ხარისხებს დაკლებული ერთის გამყოფების პოვნა. მერსენის სიტყვაზე დაჯერებას კი მათემატიკოსთა შემდეგ თაობა არ აპირებდა (რომელთათვისაც ის ნამდვილად აღარ იყო ავტორიტეტი). საბოლოოდ გაირკვა, რომ იგი ცდებოდა, მან გამოტოვა 61-ე, 89-ე და 107-ე წევრები. ორ მარტივ რიცხვში კი შეცდა: 67-ე და 257-ე მარტივ რიცხვებს არ გვაძლევს. ორიდან ერთ-ერთი დაამტკიცა კიდეც ფრენკ ნელსონ კოულმა და ამის გამო უკრავდნენ მას ტაშს ლექციაზე შეკრებილი კოლეგები.

ამ ისტორიაში საინტერესო ის არის, რომ მერსენის წიგნში,  Cogitata Physico-Mathematica, გაპარული იყო ტიპოგრაფიული შეცდომა: 67-ის ნაცვლად უნდა ყოფილიყო 61! ფრენკ ნელსონ კოულს კი ეს შეცდომა რომ ეპოვნა, იგი ოცი წლის (!) განმავლობაში ცდილობდა  147573952589676412927-ის მარტივ მამრავლებად დაშლას და დაშალა კიდეც, თუმცა რომ არ შეშლოდა იმ ოჯახაშენებულ ასოთამწყობს მე-17 საუკუნეში, ეს კაცი ამდენს ხომ არ იწვალებდა?!

მახათი #1

with 9 comments

Python-ის (პროგრამირების ენაა ასეთი) შესწავლის პროცესში ვარ და ალბათობის თეორიის გადამეორების. ამ ორმა საქმიანობამ კი გადაკვეთის წერტილი ამ ღამეულ “მახათ #1″–ში ჰპოვა, სადაც მომინდა შემემოწმებინა თეორიულად მიღებული შედეგი პრაქტიკულ მაგალითზე. ამასთან დამაინტერესა პითონზე თუ შევძლებდი შესაბამისი კოდის დაწერას.

თეორიული ნაწილი:

უილიამ ფელერის წიგნში “შესავალი ალბათობის თეორიაში” ასეთი მაგალითია განხილული: გამოვთვალოთ რა არის ალბათობა იმისა, რომ პოკერის თამაშის დროს დარიგებული ხუთი კარტის ნახატი იქნება განსხვავებული. ამოხსნის გზა ასეთია: ხუთი განსხვავებული ნახატის კარტი შეიძლება ამოირჩეს [13,5] გზით, სადაც ეს [13,5] ბინომიალური კოეფიციენტებია. ვინაიდან ფერებს მნიშვნელობა არ აქვს, მაშინ ამორჩევის ვარიანტების რაოდენობა უნდა გავამრავლოთ ოთხის მეხუთე ხარისხზე და ალბათობის დასათვლელად უნდა გავყოთ ვარიანტების სრულ რაოდენობაზე, ანუ [52,5]–ზე, მივიღებთ:

ამ გამოსახულების პასუხი არის 0,5071 რაც იმას ნიშნავს, რომ პოკერში დარიგებული ყოველი ხუთი კარტიდან ორი ერთნაირი ნახატის მქონე კარტი თითქმის ყოველ მეორე დარიგებაში გვეჭირება (თითქმის იმიტომ, რომ 0,5071–ია და არა 0,5).

პრაქტიკული ნაწილი:

Python-ზე კოდი შემდეგნაირად გამოიყურება, რომლის დაწერა ჩემდა გასაკვირად არ გამჭირვებია:

მილიონჯერ არიგებს ხუთ კარტს სრული 52 კარტიანი კალოდიდან. შემდეგ ხდება გაანალიზება დარიგებული ხუთი კარტის ნახატები თუ განსხვავდება და თუ განსხვავდება diff ცვლადს ერთით ზრდის. ხუთჯერ გავუშვი სკრიპტი და შედეგები ასეთი იყო: 507182, 507213, 507127, 507759, 506622… რაც იმას ნიშნავს, რომ თეორიული გამოთვლები სწორია და ალბათობის თეორია ამ შემთხვევაში არ ცდება. ვაშა!

გრადუსებზე და წამებზე

with 21 comments

შეიძლება ვინმემ არ იცის, ასეთები დარწმუნებული ვარ მრავლად არიან, თუ საიდან წარმოდგება სამოცად დაყოფის პრაქტიკა დროისა და კუთხეების ათვლისას. ჰოდა, სპეციალურად მათთვისაა ეს ტექსტი, რომელიც ძველი ჟურნალების ფურცლვისას შემომხვდა…

ძველ შუამდინარეთში, ტიგროსისა და ევფრატის აუზში ძველი შუმერები სახლობდნენ, რომელთაც საგრძნობი კვალი დატოვეს კაცობრიობის ისტორიაში. მავანნი იმასაც ამტკიცებენ, რომ შუმერები ქართველების წინაპრები არიანო, თუმცა ამ თემას მოდით გვერდი ავუაროთ და ძვ. შუმერთა მათემატიკურ მიღწევებზე შევაჩეროთ ყურადღება, რომელიც თავის მხრივ განვითარებული ვაჭრობით იყო განპირობებული.

შუმერებს არამხოლოდ ბორბალი, ირიგაცია და დამწერლობა გამოუგონიათ. მათ ასევე აღებ–მიმცემობის ერთეულის, ე.წ. ფულადი ერთეულის შექმნის პირველობასაც მიაწერენ. მათ ფულად ერთეულს მინა ერქვა და ის ვერცხლის ულუფას წარმოადგენდა, რომელსაც ჩვეულებრივ ორ ნაწილად ყოფდნენ, ვინაიდან 1 მინის მსყიდველობითუნარიანობა საკმაოდ მაღალი იყო. თითოეული ნახევარი თავის მხრივ კი სამ ნაწილად იყოფოდა და საბოლოო ჯამში ძვ. შუმერებს შორის მეექვსედი მინის შესაბამისი ვერცხლის ულუფები მიმოიქცეოდა.

შუამდინარეთში შუმერების მახლობლად კიდევ ერთი ხალხი სახლობდა, აქადეველები, რომელთა ფულად ერთეულსაც შეკელი ეწოდებოდა. როგორც ჩანს აქადეველთა “ვალუტა” არც თუ ისე მყარი იყო მინასთან მიმართებაში – მეექვსედი მინა 10 შეკელში იცვლებოდა, რაც ჯამში ჩვენთვის საინტერესო კურსს იძლეოდა: 1 მინა უდრიდა 60 შეკელს. ამასთან 60 ძალიან საინტერესო რიცხვია და გამყოფების დიდი რაოდენობით გამოირჩევა. ის უნაშთოდ იყოფა 2 , 3,  4, 5, 6–ზე და შესაბამისად ხურდის მიცემა ერთობ მოსახერხებელი იყო.

ძვ. ბაბილონელებმა რიცხვი 60 თვლის ერთეულად აირჩიეს და შესაბამისად სამოცობით არამხოლოდ აღებ–მიმცემობის დროს აზროვნებდნენ შუამდინარელები. მათ ერთი მინა წრეს შეუსაბამეს და მისი ნაწილები 60 ნაწილად გაყვეს. ასევე პატარა ნაწილები კიდევ სამოცად და ა.შ. შესაბამისად შემთხვევითი არ არის, რომ 1 გრადუსის მესამოცედ ნაწილს მინუტი ჰქვია, 1 მინუტის მესამოცედ ნაწილს კი სეკუნდი.

ძვ. ბერძნების, არაბებისა და დას. ევროპული მათემატიკური სკოლების წარმომადგენლებმა აჩვენეს, რომ სამოცობითი სისტემა ძალიან მოსახერხებელია, თუმცა ამავდროულად მოუხერხებელიც. მისი მოხერხებულობა ზემოხსენებული გამყოფების სიმრავლითაა განპირობებული, მოუხერხებლობა კი – პოზიციური ჩანაწერის სირთულით. სამოცობით სისტემაში 60 სიმბოლოა საჭირო რათა პოზიციური ჩანაწერი ვაწარმოოთ.

რადიკალურად მოაზროვნე პირები იმასაც კი ამბობდნენ, რომ ორი განსხვავებული სისტემა ზედმეტია და ერთ–ერთი მათგანი უნდა დარჩესო, თუმცა ჩემს მეზობელ ლამარასთან ახლა ვინმე რომ მივიდეს და უთხრას, რომ ამიერიდან საათში 60 წუთი აღარ არის და 10 ნაწილად იქნება დაყოფილი, ნამდვილად იფიქრებს, რომ ეხუმრებიან და განაგრძობს ღვეზელების ცხობას, ამიტომ სისადმინების პრაქტიკული რჩევა კვლავაც ძალაში რჩება: თუ მუშაობს, ხელი არ ახლო!

ანტიმათემატიკა

with 15 comments

math
ეს სურათი ინტერნეტში ბოდიალისას ვიპოვე, ვერაფერს ვიტყვი, მართალია თუ არა, თუმცა მჯერა რომ ასეთი მოსწავლეები არსებობენ :)

Written by linguistuss

July 16, 2009 at 1:02 pm