ლინგვისტუსის ბლოგი

სიტყვები, ენები, ისტორიები, წიგნები, შეკითხვები და სხვ.

Posts Tagged ‘ფერმას თეორემა

დიოფანტე ალექსანდრიელის ალგებრა

with one comment

დიოფანტე ალექსანდრიელი ფართო მასისთვის ცნობილი პიერ ფერმას წყალობით გახდა. ამის შესახებ ამ პოსტში მქონდა საუბარი. კვლავ გავიხსენებ ამ ისტორიას:

ფრანგი იურისტი, პიერ ფერმა, რომლისთვისაც მათემატიკა მხოლოდ ჰობი იყო, ძვ. ბერძენი მათემატიკოსის, დიოფანტეს ნაშრომის, “არითმეტიკის” კითხვის დროს წააწყდა ფრაზას, სადაც ეწერა, რომ არ მოიძებნება ისეთი ორი მთელი დადებითი რიცხვი რომელთა კუბების ჯამი რომელიმე სხვა რიცხვის კუბის ტოლი იქნებაო. რაზედაც ფერმამ წიგნის არეზე მიაწერა, ეს ჭეშმარიტია არამხოლოდ კუბების, არამედ მეოთხე ხარისხების და საერთოდ ორზე მეტი ნებისმიერი ხარისხის შემთხვევაშიო, ამის დამტკიცება შემიძლია, თუმცა წიგნის მარგინალიაზე ადგილი არ მყოფნის და შესაბამისად ვერ დავამტკიცებო

დიოფანტეს “ალგებრის მამას” უწოდებენ. იგი იყო პირველი მათემატიკოსი, რომელმაც სისტემატიურად დაიწყო უცნობი სიდიდეების სიმბოლოებით გამოსახვა, თუმცა დღემდე გაუგებარი იყო ჩემთვის როგორ ახერხებდა დიოფანტე ამას იმის გათვალისწინებით, რომ არაბული ციფრები მე-11 საუკუნეში გამოჩნდა, ჩვენთვის ცნობილი x, y, z უცნობები კი მე-17 საუკუნეში შემოიღო რენე დეკარტმა. ტოლობის ნიშანიც არ იცოდა ალექსანდრიელმა, რომ არაფერი ვთქვათ იმ კანონიკურ ალგებრულ ჩანაწერზე, რომელიც ყველა ჩვენგანმა სკოლაში ისწავლა.

ჯონ დერბიშირის წიგნში, “Unknown Quantity” წავაწყდი გამოსახულებას, ძვ. ბერძნული და ლათინური ასოების ნარევს, რომელიც პირადად ჩემთვის არაფრით განსხვავდებოდა “ენიგმას” დაშიფრული ტექსტისგან. როგორც აღმოჩნდა ეს არის ჩანაწერი, რის გამოც დიოფანტეს “ალგებრის მამას” უწოდებენ. როგორც მოგახსენეთ დიოფანტემ არ იცოდა არაბული ციფრები, შესაბამისად იგი რიცხვების ჩასაწერად თავზე ხაზგასმულ ძვ. ბერძნულ ასოებს იყენებს (α, β, γ, δ, ε…), უცნობი სიდიდეების გამოსახატად კი – ბერძნულ ასოებს (K, M, ς, Δ ).

დიოფანტეს ჩანაწერი სამი ნაწილისგან შედგება: პირველ ნაწილში თავმოყრილია დადებითი წევრები, ამოყირავებული სამკაპი მიუთითებს რომ, რაც შემდეგ მოდის ის აკლდება დადებითებს და ’íσ  კი იგივეა, რაც ჩვენთვის კარგად ცნობილი ტოლობის ნიშანი (სიტყვიდან  ’íσος “ჰისოს”, რაც ნიშნავს “უდრის”). უცნობები ოთხი ტიპისა აქვს: კუბური ხარისხის მქონე (K), კვადრატული (Δ), პირველი ხარისხის  (ς) და კონსტანტა (M). შესაბამისად დიოფანტეს ჩანაწერი თანამედროვე ალგებრის ენაზე რომ გადმოვთარგმნოთ მივიღებთ:

როგორც ხედავთ დიოფანტე კოეფიციენტებს უცნობების შემდეგ წერს. დადებით და უარყოფით წევრებს ერთად აჯგუფებს. ასევე ისიც უნდა ითქვას, რომ იმ დროს უარყოფითი რიცხვებიც არ იყო ცნობილი. შესაბამისად ამოყირავებული სამკაპას სიმბოლო მინუს ნიშანს კი არ ნიშნავს, არამედ გამოკლებას. უფრო გასაგებ ენაზე რომ გადავწეროთ ეს განტოლება, მივიღებთ:

დარწმუნებული ვარ ეს უკანასკნელი ყველას გეცნოთ. მათაც კი, ვინც სკოლაში ალგებრას ვერ იტანდა. საინტერესო ამ ისტორიაში ის არის, რომ დიოფანტე საკუთარი გამოგონების ტყვეობაში აღმოჩნდა. მისი საშუალებით მხოლოდ ერთუცნობიანი განტოლებების ჩაწერაა შესაძლებელი, ამიტომაც დიოფანტეს “არითმეტიკაში” ვერც ერთ ამ განტოლების მსგავსს ვერ ნახავთ, როდესაც იგი ორუცნობიან ე.წ. “დიოფანტეს განტოლებებზე” საუბრობს და მხოლოდ სიტყვიერად აღწერს მათ.

ასეთივე სიმბოლიზმის ტყვეობაში აღმოჩნდნენ ძვ. ბაბილონელებიც, რომლებმაც თითქმის მიაგნეს კვადრატული განტოლების ამოხსნის ზოგად წესს, მაგრამ არასწორად შერჩეული “ლურსმნული” სიმბოლიზმის გამო 27 საუკუნეზე მეტი გახდა საჭირო, რომ ძვ. ბაბილონელების მიგნება ზოგადი ფორმულის სახით ჩაწერილიყო.

P. S. როგორც ჩანს მართალი იყო ცხონებული ვილჰელმ ფონ ჰუმბოლდტი, როდესაც ამბობდა “ენა, როგორც სიმბოლიზმი ციხეა და ადამიანის გონება მის ტყვეობაში იმყოფებაო”.

Advertisements

სიმპსონები ტყუიან, თუ ფერმა?

with 24 comments

არც სიმპსონების მოყვარული ვარ და არც სამსონაძეების, თუმცა ხანდახან კარგად ხუმრობენ ხოლმე. განსაკუთრებით მომწონს ხუმრობები, რომლებიც საშუალო სტატისტიკურ იუმორს სცილდება. თქვენ წინაშე წარმოდგენილი კადრიც ასეთი იუმორის ილუსტრაციაა. მოუმზადებელმა ადამიანმა ამის ნახვის შემდეგ შეიძლება მხრები აიჩეჩოს და სხვა არხზე გადართოს, ან მედიაპლეიერი დახუროს, თუმცა ეს კადრი ისეთ რაღაცას შეიცავს, რაზედაც აუცილებლად ღირს ლაპარაკი. საუბარი ჩვენი ჰომეროსის უკან გაკეთებულ უწყინარ წარწერაზე მაქვს:

მათ საყურადღებოთ, ვინც კვლავ ვერ მიხვდა ვერაფერს განვმარტავ, რომ ასეთი ტოლობა 20 წლის ვერავის ვერ გააკვირვებდა და შინააარსიც ირონიული არ ექნებოდა. ამ ტოლობას ხომ ფერმას დიდი თეორემა კრძალავს, რომელიც 358 წლის განმავლობაში ჰაერში ეკიდა. მისი ისტორია კი ასეთია: ფრანგი იურისტი, პიერ ფერმა, რომლისთვისაც მათემატიკა მხოლოდ ჰობი იყო, ძვ. ბერძენი მათემატიკოსის, დიოფანტეს ნაშრომის, “არითმეტიკის” კითხვის დროს წააწყდა ფრაზას, სადაც ეწერა, რომ არ მოიძებნება ისეთი ორი მთელი დადებითი რიცხვი რომელთა კუბების ჯამი რომელიმე სხვა რიცხვის კუბის ტოლი იქნებაო. რაზედაც ფერმამ წიგნის არეზე მიაწერა, ეს ჭეშმარიტია არამხოლოდ კუბების, არამედ მეოთხე ხარისხების და საერთოდ ნებისმიერი ხარისხის შემთხვევაშიო, ამის დამტკიცება შემიძლია, თუმცა წიგნის მარგინალიაზე ადგილი არ მყოფნის და შესაბამისად ვერ დავამტკიცებო…

დიოფანტეს “არითმეტიკის” წიგნის კიდეში მიწერილი პიერ ფერმას კომენტარი, როგორც უკვე აღვნიშნე, 358 წლის განმავლობაში აღელვებდა კაცობრიობას. მრავალ დიდ მათემატიკოსს ხელი მოეცარა, მრავალმა ნაწილობრივ დაამტკიცა, მაგალითად ლეონარდ ეილერმა აჩვენა, რომ მე–100 ხარისხის ფარგლებში ფერმას თეორემა ჭეშმარიტიაო, თუმცა ეს თეორემა იმითაა გენიალური და ამავდროულად რთულად დასამტკიცებელი, რომ n რაც არ უნდა დიდი ავიღოთ, მაინც ჭეშმარიტი უნდა იყოს, შესაბამისად კომპლექსურ მიდგომას საჭიროებს.

მათემატიკოსებმა კინაღამ დაიჯერეს, რომ ფერმამ იხუმრა და სერიოზულად არ უთქვამსო. არტურ პორჯესმა ერთი საყვარელი მოთხრობაც კი გამოაცხო ამ თემაზე “საიმონ ფლეგი და ეშმაკი”, სადაც ამ თეორემას ეშმაკიც კი ვერ დაამტკიცებს და გაწბილებული დამარცხდება მთავარ პერსონაჟთან ორთაბრძოლაში, თუმცა როგორც ყველაფერს, ამ ისტორიასაც გამოუჩნდა მთავარი გმირი – ინგლისელი მათემატიკოსი, ენდრიუ უაილსი, რომელმაც 1995 წელს მთელი მათემატიკური საზოგადოება გააოცა თავისი არატრივიალური ნაშრომით, სადაც მას ფერმას დიდი თეორემის დამტკიცებაზე ჰქონდა პრეტენზია გამოთქმული. მათთვის ვისაც სირთულეები უყვარს, ან არ იცის რა არის რთული ტექსტი, შეუძლია უაილსის დამტკიცებას გაეცნოს [გადმოსაწერი ბმული]. მათემატიკოსებმა ბევრი იმსჯელეს, შურისგან გასკდნენ, ხელები აწიეს და თქვეს აფერუმ შენს ვაჟკაცობას, ჩვენო ენდრიუ. მას შემდეგ ენდრიუ უაილსი მთელმა დედამიწამ გაიცნო, გადაიღეს მის შესახებ ფილმები და ერთი სიტყვით ნამდვილი გმირი მოევლინა ბრიტანეთს. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ საიმონ სინგჰის წიგნში “ფერმას ენიგმა”, მე კი კვლავ სიმპსონებს დავუბრუნდები.

სიმპსონების შემქმნელები ამტკიცებენ, რომ ჰომერ სიმპსონის ზურგსუკან განთავსებული ტოლობა ჭეშმარიტია და ფერმა იტყუება. ამის შესამოწმებლად შეგვიძლია დავწეროთ მარტივი პროგრამა C++ –ზე (ვინაიდან ჩვენი კალკულატორი ამდენს ვერ გაქაჩავს) და შევამოწმოთ მართლა ასეა, თუ არა:

int main(int argc, char* argv[]) {

__int64 a,b,c,d;

a = pow(1782,12);
b = pow(1841,12);
c = a+b;
d = pow(1922,12);

if (c=d)

cout<< “Simpsonebi martlebi arian, ferma tyuis!\n”;

else

cout<< “Simpsonebi tyuian\n”;

getch();
return 0;

}

ეს პროგრამა რომ დავაკომპილიროთ და გავუშვათ ის დაგვიწერს:  Simpsonebi martlebi arian, ferma tyuis!

ძვირფასო ინტელექტუალებო: ვინ ტყუის გამაგებინეთ, სადაა შეცდომა? :)

[სწორ პასუხის შემცველ კომენტარებს 1 კვირით დავმალავ, ასე რომ გაითვალისწინეთ და თუ მიხვდით თქვენთვის შეინახეთ, აცადეთ სხვებსაც]